La dimensione indica l’estensione dell’oggetto nello spazio. Le figure vengono solitamente raggruppate in base alle dimensioni:

• Dimensione 1: linee
• Dimensione 2: figure geometriche su piano
• Dimensione 3: solidi geometrici

Intuitivamente è come muoversi lungo una direzione sola (dimensione 1) o due direzioni (dimensione 2) o tre direzioni (dimensione 3). Ma il Triangolo di Sierpinski, che dimensione ha?

Un segmento è una figura autosimilare poiché può essere divisa per \(n^1\) parti uguali, ognuna di grandezza \(1/n\) rispetto all’originale e con la proprietà di tornare identica all’originale se la parte viene moltiplicata per \(n\) cioè ingrandita di un fattore \(n\). Un quadrato potrà essere suddiviso in \(n^2\) quadratini dati dalla suddivisione dei lati rispettivamente in \(1/n\) parti. Analogamente per un cubo si avranno \(n^3\) cubetti. La dimensione allora può essere dedotta dall’esponente di \(n\).

Nei frattali la dimensione viene espressa calcolando il logaritmo del numero dei pezzi in cui l’oggetto è stato suddiviso, rispetto al logaritmo del fattore di ingrandimento.

Iniziamo esprimendo il logaritmo del numero dei pezzi:

• Per un segmento si ha \(\log (\text{numero pezzi}) = \log (n^1) = 1 \cdot \log (n)\)
• Per un quadrato si ha \(\log (\text{numero pezzi}) = \log (n^2) = 2 \cdot \log (n)\)
• Per un cubo si ha \(\log (\text{numero pezzi}) = \log (n^3) = 3 \cdot \log (n)\)

Dividiamo il risultato per il logaritmo delle divisioni:

• Per un segmento si ha \(D = \frac{\log (\text{numero pezzi})}{\log (ingrandimento)} = \frac{\log (n^1)}{\log (n)} = \frac{1 \cdot \log (n)}{\log (n)} = 1\)
• Per un quadrato si ha \(D = \frac{\log (\text{numero pezzi})}{\log (ingrandimento)} = \frac{\log (n^2)}{\log (n)} = \frac{2 \cdot \log (n)}{\log (n)} = 2\)
• Per un cubo si ha \(D = \frac{\log (\text{numero pezzi})}{\log (ingrandimento)} = \frac{\log (n^3)}{\log (n)} = \frac{3 \cdot \log (n)}{\log (n)} = 3\)

Per il Triangolo di Sierpinski si ha che l’angolo in basso a sinistra, se amplificato (ingrandito) di un fattore 2 riproduce il triangolo di partenza.

I pezzi in cui è stato diviso il triangolo sono 3. Quindi \(D = \frac{\log (\text{numero pezzi})}{\log (ingrandimento)} = \frac{\log (3)}{\log (2)} = 1.585\) cioè una dimensione frazionaria compresa tra 1 (linea) e 2 (figura piana). Non avremo quindi una dimensione come un numero intero, ma siamo a metà strada tra una figura a due dimensioni ed una ad una dimensione. La dimensione non è un numero intero ma è un numero frazionario (da ciò frattali).