La distribuzione descrive fenomeni per cui la variabile casuale \(x\) assume valori interi maggiori o uguali a zero. La funzione non ha limite superiore e la distribuzione è controllata dal parametro \(\lambda\).

La probabilità di avere l’intero \(k\) è data da: \(p {x = k} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \; x > 0\)

Il valor medio della distribuzione è \(\lambda\).

\(\lambda\) indica il numero di eventi che mediamente in successione e in un dato intervallo di tempo si verificano.

\(k\) indica il numero di eventi per un dato intervallo di tempo del quale si vuole conoscere la probabilità che si verifichino.

\(\lambda\) è uguale al numero aspettato delle occorrenze che accadono durante un intervallo di tempo dato. Ad esempio se l’evento o il gruppo di eventi accade ogni 5 minuti, per conoscere quanti eventi accadono in un intervallo di 20 minuti, basta:

• trovare il valore di \(\lambda\); in questo caso \(\lambda = 20/5 = 4\).
• verificare sulla distribuzione di Poisson per \(\lambda = 4\) quant’è la probabilità di avere \(k\) eventi o \(k\) gruppi di eventi.

Nell'immagine fig.38 consideriamo \(\lambda = 4\); supponiamo inoltre che in 5 minuti accadono 10 eventi; se desideriamo sapere la probabilità di avere \(k \cdot 10\) eventi in 20 minuti basta osservare il grafico sulla sinistra. (\(k\) è indicato in ascisse e rappresenta il gruppo di eventi o l’evento). Avrò quindi la probabilità del 20% (0.2) di avere \(3 \cdot 10 = 30\) eventi o \(4 \cdot 10 = 40\) eventi in 20 minuti. Ci sarà invece la probabilità del 7% (0.07) di avere \(1 \cdot 10\) eventi.

La distribuzione di Poisson è legata al processo di Poisson. Si applica a vari fenomeni di natura discreta (ovvero quelli che possono accadere 0, 1, 2, 3,… volte durante un periodo di tempo o in una data area) ma con il vincolo che la probabilità rimanga costante nel tempo (o nello spazio in caso di area).

Esempi di eventi che seguono il modello di Poisson sono:

• Il numero di automobili che passano su una strada in un punto sufficientemente lontano da semafori.
• Il numero di errori di ortografia che vengono commessi nella battitura di una pagina.
• Il numero delle chiamate telefoniche ad un call center per minuto.
• Il numero di volte a cui un server web viene richiesto l’accesso a ogni minuto.
• Il numero di animali uccisi da automobilisti trovati sulla strada (per unità di lunghezza).
• Il numero di mutazioni di una porzione di DNA dopo una quantità definita di radiazioni.
• Il numero di nuclei instabili che decadono un un determinato tempo in un materiale radioattivo (poiché la sostanza radioattiva decade con il tempo, l’intervallo di tempo utilizzato nel modello dovrà essere molto minore del tempo di vita medio della sostanza radioattiva).
• Il numero degli alberi di pino per unità d’area in una foresta mista.
• Il numero di stelle in un volume dato di spazio.
• La distribuzione dei recettori della retina nell’occhio.
• Il numero di virus che possono infettare una cella in una coltura batterica.
• Clienti in arrivo in negozio in un certo tempo (per lo studio delle risorse).

La distribuzione è detta anche degli eventi rari. E’ stata usata da Xenakis per la distribuzione di altezze e durate nei suoi lavori. Per Xenakis tale distribuzione descrive un andamento di molte “individualità” che però marciano verso un obiettivo, come succede per la folla durante una manifestazione. Se un individuo intona uno slogan, questo può morire subito (se non viene recepito da un numero sufficiente di individui), oppure crescere fino a diventare collettivo.