Nello spazio delle funzioni il generico vettore viene sostituito da una funzione. Il prodotto scalare può essere ancora definito, ma il simbolo di sommatoria viene esteso a valori continui e diviene un integrale.

\(⟨f, g⟩ = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot g(t)dt\)  indica il prodotto scalare di due funzioni nel dominio del tempo.

Due funzioni sono tra loro ortogonali se il loro prodotto scalare è pari a zero.

Anche in questo caso il numero generato dal prodotto scalare fornisce una stima di quanto \(f\) contribuisce su \(g\).

Effettuiamo ad esempio il prodotto scalare tra le funzioni:

\(f = sin(t)\) e \(g = cos(t)\)
Tra gli estremi \(-\pi\) e \(\pi\).
Dalla definizione \(⟨f, g⟩ = \int_{-\pi}^{\pi} sin(t) \cdot cos(t)dt\)
utilizzando l'identità \(sin(2t) = 2sin(t) \cdot cos(t)\) e sostituendo nell'integrale si ha:
$$⟨f, g⟩ = \int_{-\pi}^{\pi} sin(t) \cdot cos(t)dt = \int_{-\pi}^{\pi} sin(2t) \cdot d(2t) = \frac{1}{2} \int_{-2\pi}^{2\pi} sin(2t) \cdot d(2t) = -\frac{1}{2} cos(t) \int_{-2\pi}^{2\pi} = -0.5 [cos(2\pi) - cos(-2\pi)] =0$$
Due funzioni seno e coseno sono quindi tra loro ortogonali se il loro prodotto scalare è pari a zero.

Consideriamo il seguente esempio:

\(f = x(t)\) e \(g = e^{-j\omega t}\)
Tra gli estremi \(-\pi\) e \(\pi\).
Dalla definizione di prodotto scalare:
$$⟨f, g⟩ = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot [cos(\omega t) - jsin(\omega t)] dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot cos(\omega t) dt - j \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot sin(\omega t) dt$$
Questo prodotto può essere interpretato come un prodotto scalare tra:
la funzione \((x(t)\) e la funzione \(cos(\omega t)\) per ogni \(\omega\). la funzione \(x(t)\) e la funzione \(sin(\omega t)\) per ogni \(\omega\).

\(⟨f, g⟩ = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-j\omega t} dt\) è detta Fast Fourier Transform.

Per ogni 𝜔 il prodotto scalare genera una coppia di numeri che sono i coefficienti di Fourier della trasformazione ed indicano se la generica componente \(cos(\omega t)\) o \(sin(\omega t)\) è contenuta nella \(x(t)\) per ogni valore di \(\omega\). In caso affermativo con quale presenza (valore del prodotto scalare \(\in \Re\)).